SCIENCE ET VIE 🔵 Deux adolescentes américaines bouleversent 2 000 ans d’histoire avec une avancée inédite sur le théorème de Pythagore

[Cet article avait été initialement publié le 18
février 2025]

Formulé il y a plus de 2000 ans, le
théorème de Pythagore est bien plus qu’une formule
mathématique. C’est un véritable pilier intemporel de la géométrie
euclidienne. Ce théorème sert à calculer la longueur du côté le
plus long d’un triangle rectangle, ce que l’on appelle
l’hypoténuse.

Selon le théorème de Pythagore, le carré de la longueur de
l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux
autres côtés adjacents à l’angle droit du triangle rectangle.

Une démonstration trigonométrique pour résoudre le
théorème de Pythagore

En 2022, deux lycéennes américaines, Ne’Kiya Jackson et Calcea
Johnson, ont proposé une nouvelle approche pour résoudre le
théorème de Pythagore. Leur démonstration est d’autant plus
remarquable qu’elle utilise uniquement la trigonométrie, ce que
l’on pensait impossible à faire jusqu’à présent.

Des méthodes géométriques et algébriques ont souvent été
utilisées pour prouver le théorème de Pythagore, mais nous n’avions
pas encore vu une démonstration exclusivement trigonométrique. Et
pour cause, les fonctions trigonométriques comme le sinus et le
cosinus sont intrinsèquement liées à ce théorème.

Alors, comment les adolescentes ont-elles fait ? Elles ont
eu une véritable idée de génie. Au lieu de dépendre du théorème de
Pythagore dans leur démonstration, elles se sont appuyées sur des
principes fondamentaux de la géométrie tels que les propriétés des
angles et des proportions.

Elles ont ainsi évité le raisonnement circulaire en utilisant
une preuve plus élémentaire et plus directe.

Une approche de génie en utilisant la
trigonométrie

Concrètement, elles ont d’abord construit des triangles
rectangles et d’autres figures de géométrie en utilisant des
relations de proportionnalité entre les angles et les côtés.

Elles ont ensuite défini des fonctions trigonométriques (sinus
et cosinus) à partir des propriétés des angles et des proportions
dans leurs triangles déjà construits. Cela a permis d’établir des
relations entre les longueurs des côtés des triangles
rectangles.

L’utilisation d’identités trigonométriques a permis de
simplifier ces relations. Par exemple, l’identité qui relie le
sinus et le cosinus est « sin²(x) + cos²(x) = 1 ». Après
plusieurs étapes de calcul, les jeunes filles sont finalement
arrivées à l’équation du théorème de Pythagore : « a² +
b² = c² ».

Elles ont ainsi prouvé qu’il était possible de démontrer le
théorème de Pythagore sans jamais l’utiliser une seule fois dans la
démonstration.

Une approche immédiatement reconnue par la communauté
scientifique

Après quatre ans de recherche, Ne’Kiya Jackson et Calcea Johnson
ont présenté leur travail à la conférence annuelle de la
Mathematical Association of America à Atlanta, en mars 2023.

La communauté scientifique a tout de suite reconnu leur
approche, ce qui leur a valu la publication de leurs travaux dans
la revue American Mathematical Monthly
quelques mois plus tard.

D’ailleurs, leur article ne se limite pas à une seule
démonstration du théorème de Pythagore. Elles ont proposé plusieurs
méthodes. L’une d’entre elles permet même de générer cinq autres
démonstrations distinctes.

La nouvelle approche des étudiantes pourrait permettre à de
nouvelles applications en mathématiques pures et appliquées de voir
le jour. D’autres chercheurs pourraient effectivement trouver des
approches alternatives à des théorèmes déjà établis.

Cette démonstration du théorème de Pythagore est une
source d’inspiration pour les jeunes

Ne’Kiya Jackson et Calcea Johnson espèrent que leur travail va
inspirer la jeunesse. « Cela montre que même les
étudiants peuvent contribuer à l’avancement des
connaissances », déclare Calcea Johnson qui est aujourd’hui
étudiante en génie environnemental à l’Université d’État de
Louisiane.

Ne’Kiya Jackson est quant à elle étudiante en pharmacie à
l’Université de Xavier de Louisiane. « Nous voulons montrer
qu’avec de la passion et de la persévérance, tout est
possible », se confie-t-elle.

De nouvelles perspectives pour
les mathématiques de demain

Leur démonstration est une preuve éclatante que les
mathématiques sont une science vivante en constante évolution.
Il est toujours possible de faire de nouvelles découvertes, même
sur des sujets aussi anciens que le théorème de Pythagore.

À long terme, leur approche pourrait avoir un impact
significatif sur de futurs travaux en géométrie, trigonométrie,
sciences appliquées et même en
intelligence artificielle.

On peut par exemple s’attendre à ce que des algorithmes plus
performants soient développés grâce à de nouvelles approches en
géométrie et en trigonométrie. Les retombées potentielles de leur
démonstration est sans aucun doute une source d’inspiration pour de
nombreux chercheurs à travers le monde.